Геометрия же приносит большую пользу архитектуре, и прежде всего она учит употреблению циркуля и линейки, что чрезвычайно облегчает составление планов зданий и правильное применение наугольников, уровней и отвесов.
Карл Поппер
Ганс Рейхенбах, Мы можем утверждать, следовательно, что математическая геометрия — это не наука о пространстве, поскольку под пространством мы понимаем наглядную структуру, которая может быть заполнена предметами, — а чистая теория многообразий. Наглядность в ней играет ту же роль, что и в арифметике или анализе. Подобно последним, геометрия может быть сведена к фундаментальным логическим понятиям, таким, как соотношения, классы и т. д., составляющим реальное содержание геометрических высказываний. Все геометрические аксиомы могут быть сформулированы как математические законы при помощи формул,. Визуальные элементы пространства не являются необходимым дополнением. Поэтому в математической геометрии вопрос об истинности той или иной аксиомы даже не возникает. Аксиомы представляют собой произвольно составленные отношения, содержание которых может быть выражено некоторым сочетанием одних только логических понятий.
Альбрехт Дюрер...Без [науки измерения
Игорь Шарыгин...Вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых... Для нормального развития ребёнку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия — витамин для мозга.
Александр ПушкинВдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии. — «Отрывки из писем, мысли и замечания» (1828)
Бертран РасселВлияние геометрии на философию и научный метод было глубоким. Геометрия в таком виде, в каком она установилась у греков, отправляется от аксиом, которые являются самоочевидными (или полагаются таковыми), и через дедуктивные рассуждения приходит к теоремам, которые весьма далеки от самоочевидности. При этом утверждают, что аксиомы и теоремы являются истинными применительно к действительному пространству, которое является чем-то данным в опыте. Поэтому кажется возможным, используя дедукцию, совершать открытия, относящиеся к действительному миру, исходя из того, что является самоочевидным. Подобная точка зрения оказала влияние как на Платона и Канта, так и на многих других философов, стоявших между ними. Когда Декларация независимости говорит: «Мы утверждаем, что эти истины самоочевидны», — она следует образцу Евклида. Распространенная в XVIII веке, доктрина о естественных правах человека является поиском евклидовых аксиом в области политики. Форма ньютоновского произведения «Начала», несмотря на его общепризнанный эмпирический материал, целиком определяется влиянием Евклида. Теология в своих наиболее точных схоластических формах обязана своим стилем тому же источнику. Личная религия ведет свое начало от экстаза, теология — из математики... — История западной философии. Кн. первая, гл. III.
Блез ПаскальВсё, что превышает геометрию
Иоганн КеплерГеометрия едина и вечна, она блистает в Божьем духе. Наша причастность к ней служит одним из оснований, по которым человек должен быть образом Божьим. Но в геометрии имеются пять евклидовых тел, совершеннейший род фигур после сферы. По их образцу и прообразу устроена наша планетная система. — «Разговор с Звездным вестником» (1610)
ПроклГеометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений, она начинает с неделимой точки, завершает объемными фигурами и исследованием многообразных различий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного. А именно, она пользуется синтезом и анализом, всякий раз начиная с предпосылок, начала беря от более высокого знания и используя все диалектические методы: когда речь идет о началах, она использует отделение видов от родов и определения, когда о том, что следует за началами, — доказательством и анализом, чтобы показать переход от более простого к более сложному и опять возвращение к более простому, отдельно производя рациональные построения относительно того, что ей подлежит, отдельно — относительно аксиом, от которых она переходит к доказательствам, и относительно постулатов, и отдельно — относительно существенных свойств, показывая, что и они связаны с предметом ее рассмотрения. — Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 5.
Иммануил КантГеометрия есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori
Исаак НьютонГеометрия за то и прославляется, что заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает.
Галилео ГалилейНадо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.
ЕвклидНет царского пути в геометрии. — Ответ египетскому царю Птолемею I, который просил указать ему более легкий путь изучения геометрии. Высказывание приведено в «Математической коллекции» Паппа Александрийского (рубеж III—IV вв.) и «Комментарии к Эвклиду» Прокла Диадоха (середина V в.).
Альберт ЭйнштейнПонятие «истинный» неприложимо к высказываниям чистой геометрии, потому что словом «истинный» мы в конечном счете постоянно характеризуем согласование с «реальным» предметом, но геометрия не занимается отношением своих понятий к предметам опыта, она имеет дело только с логической связью этих понятий между собой.
Рене ДекартТе длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности.
Галилео ГалилейЧто мы с вами скажем на это?.. Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой?
Платон— Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет. — Хорошая оговорка: действительно, геометрия — это познание вечного бытия. — Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному. — Да, геометрия очень даже на это воздействует. — Значит, надо по возможности строже предписать, чтобы граждане Прекрасного города ни в коем случае не оставляли геометрию: ведь немаловажно даже побочное ее применение. — Какое? — То, о чем ты говорил, — в военном деле да, впрочем, и во всех науках — для лучшего их усвоения: мы ведь знаем, какая бесконечная разница существует между человеком причастным к геометрии и непричастным. — Бесконечная, клянусь Зевсом! — Так примем это как второй предмет изучения для наших юношей? — Примем. — «Государство», VII, 527b-d
Платон— Это-то я очень хорошо знаю. — Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена но на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором. — Ты прав. — Вот об этом виде умопостигаемого я тогда и говорил: душа в своем стремлении к нему бывает вынуждена пользоваться предпосылками и потому не восходит к его началу, так как она не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает более отчетливое их выражение. — Я понимаю: ты говоришь о том, что́ изучают при помощи геометрии и родственных ей приемов.
Темы по буквам
